线性代数笔记整理

大一上学期，自己用Latex整理的线性代数笔记，欢迎各位浏览学习。

虽说整理笔记貌似没什么用，但是既然有就发一下吧~

行列式

行列式的相关定义

• 行列式的定义

  • 2阶行列式定义为 \[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \xlongequal{def}a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\] 其中，行列式第\(i\)行，第\(j\)列的元素\(a_{i,j}\)称为行列式的\((i,j)\)元素; 上方等式的右端称行列式的展开式. 

  • \(n\)阶行列式是由\(n^{2}\)个数\(a_{i,j}(i,j=1,2,\dots,n)\)排成\(n\)行\(n\)列的算式 \[D=det(a_{ij})_{n\times n}= \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\dots &a_{nn}\\ \end{vmatrix}\]

• 余子式与代数余子式
  删去\(a_{ij}\)所在行列的元素后形成的\(n-1\)阶行列式称\(a_{ij}\)的余子式，记作\(M_{ij}\)，称 \[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \nonumber\] 为\(a_{ij}\)的代数余子式. 且\(n\)阶行列式的值为 \[D\xlongequal{def}\sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j} \nonumber\]

• 元素\(a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}\)所在的对角线称行列式的主对角线，\(a_{ii}\)称主对角线元素，另一条对角线称副对角线. 

  • 主对角三角行列式： \[D=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}\]

  • 副对角三角行列式： \[D=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{i=1}^{n}a_{ii}\]

• 转置行列式
  把行列式的行依次换成列所得的行列式，即 \[D^{T}=det(a_{ji})\] 且行列式与他的转置行列式值相等. 

行列式的基本性质

• 互换行列式两行/列的位置，行列式的值反号. 

• \[D=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{i=1}^{n}a_{ii}\] 行列式求值可按任一行/列展开. 

• 若行列式某行/列元素全为\(0\)，则行列式值为\(0\). 

• 若行列式某行/列都是两数之和，则可将行列式拆开为两个行列式之和. 

• 若行列式两行/列元素对应相等或成比例，则行列式值为\(0\). 
  进一步的，将行列式某行/列倍加到另一行/列，行列式值不变. 

• 行列式某行/列元素分别与另一行/列代数余子式相乘，乘积为\(0\). 

行列式的计算

• 直接利用定义和性质求解. 

• 将行列式化为三角行列式求解,公式详见[110]. 

• 降阶法：将行列式展开并逐渐降阶. 

• 一些特殊行列式

  • 奇数阶反对称行列式的值为\(0\). 

  • 主对角线非零的箭形行列式：化为三角行列式 \[D_{n+1}= \begin{vmatrix} a_{0} & b_{1} & b_{2} & \dots &b_{n}\\ d_{1} &a_{1} &0 &\dots &0\\ d_{2} &0 &a_{1} &\dots &0\\ \vdots & \vdots& \vdots& & \vdots\\ d_{n} &0 &0 &\dots &a_{n}\\ \end{vmatrix} \xlongequal{c_{1}-\frac{d_{i}}{a_{i}}\times c_{i+1}} (a_{0}-\sum_{i=1}^{n}\frac{d_{i}}{a_{i}}b_{i})\prod_{i=1}^{n}a_{i}\]

  • 除对角线外各行元素对应相同：化为箭形行列式. 

  • 行和相等的行列式. 

• \(Vandermonde\)行列式 \[V_{n}= \begin{vmatrix} 1&1&1&\dots&1\\ x_{1}&x_{2}&x_{3}&\dots&x_{n}\\ x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\dots&x_{n}^{2}\\ x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}&\dots&x_{n}^{3}\\ \vdots & \vdots& \vdots& & \vdots\\ x_{1}^{n}&x_{2}^{n}&x_{3}^{n}&\dots&x_{n}^{n}\\ \end{vmatrix} =\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_{j}-x_{i})\]

• 高阶有规律行列式：归纳法/找递推关系. 

\(Cramer\)法则

• 非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组，反之称齐次线性方程组. 齐次线性方程组必有零解(平凡解)，可能存在非零解(非平凡解). 

• 非齐次线性方程组的\(Cramer\)法则
  对由\(n\)个方程与\(n\)个未知量组成的线性方程组 \[\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n} & =b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n} & =b_{1}\\ \dots \dots \dots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n} & =b_{1}\\ \end{aligned} \right.\] 若系数行列式 \[D= \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\dots &a_{nn}\\ \end{vmatrix} \neq 0\] 则方程组有唯一解 \[x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_{2}=\frac{D_{2}}{D},\dots ,x_{n}=\frac{D_{n}}{D}\] 其中，\(D_{i}\)是将\(D\)的第\(j\)列元素分别用常数项代替所得的行列式. 

• 齐次线性方程组的\(Cramer\)法则
  齐次方程组有非零解\(\Rightarrow\)系数行列式为零. 

矩阵

矩阵的概念

• 定义：由\(m\times n\)个数排成的\(m\)行\(n\)列的矩形数表 \[A_{m\times n}= \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\dots &a_{nn}\\ \end{bmatrix}\] 称为一个\(m\times n\)矩阵. 其中，\(a_{ij}\)称矩阵的第\(i\)行第\(j\)列元素，元素是实(复)数的矩阵称实(复)矩阵. 

• \(m=n\)时，矩阵称\(n\)阶方阵，类似于行列式，有主对角线和副对角线. 

• 几种特殊矩阵

  • 零矩阵：所有元素均为\(0\)，记作\(O_{m\times n}\)或\(O\).

  • 单位矩阵：主对角线元素为\(1\)，其他元素均为\(0\)的\(n\)阶方阵，记作\(I_n\)或\(E_n\). 
    数量矩阵：主对角线元素为\(\lambda\)，其他元素均为\(0\)的\(n\)阶方阵，记作\(\lambda I\)或\(\lambda E\). 

  • 行矩阵(行向量)：\(\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)\)
    列矩阵(列向量)：\(\beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)^T\quad \ast\)参见

• 设矩阵\(A=(a_{ij})_{m \times n}\)，\(B=(b_{ij})_{m \times n}\)，则两矩阵行、列数相同，称\(A\)与\(B\)为同型矩阵. 
  进一步地，若\(A\)与\(B\)各个元素对应相等，称\(A\)与\(B\)相等，即\(A=B\). 

矩阵的代数运算

• 矩阵加法：对同型矩阵\(A_{m\times n},\ B_{m\times n},\ A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m \times n}\).

  • 交换律与结合律. 

  • 零矩阵：\(A+O=A\). 

  • 负矩阵：\(A+(-A)=O\). 

• 矩阵数乘：\(kA=(ka_{ij})_{m\times n}\)

  • \(1A=A\). 

  • 结合律. 

  • 分配律(对数和矩阵均成立). 

• 矩阵乘法：对矩阵\(A_{m\times s},\ B_{s\times n}\)，规定\(A\)与\(B\)的乘积为\(C_{m\times n}\)，记作
  \(AB=C\)，其中\[c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\] \(\ast\)两个矩阵可以相乘\(\Leftrightarrow\)左矩阵列数等于右矩阵行数. 

  • \(I_mA_{m\times n}=A_{m\times n}I_n=A_{m\times n}\)
    但对一般的矩阵\(A,\ B\)，不一定有\(AB=BA\)(不满足交换律). 

  • 结合律与关于数乘的结合律. 

  • 左右分配律. 

• 矩阵与线性变换：从\(n\)维列向量\(x\)到\(m\)维列向量\(y\)的映射称为线性变换，且用\(m\times n\)维矩阵\(A\)左乘\(x\)能唯一确定一个\(m\)维列向量，称\(A\)为线性变换的矩阵，即：
  \[y=Ax\] 线性变换可以进行复合运算，即对\(p\)维列向量\(z\)，存在从\(x\)到\(z\)的变换：
  \[z=By=B(Ax)=(BA)x\]

• 方阵的幂：对\(n\)阶方阵\(A\)，定义\(A\)的幂为\[A^0=I,\ A^1=A,\ A^m=\underbrace{AA\dots A}_{m\text{个}A}\] 满足：\[A^kA^l=A^{k+l}\quad (A^k)^l=A^{kl}\quad (k,l\in \mathbb{N})\]

矩阵的转置

把\(m\times n\)矩阵\(A\)的行依次换成列所得的\(n\times m\)矩阵称为\(A\)的转置矩阵，记作\(A^T\)，且\[A^T=(a_{ji})_{n\times m}\]

• 转置矩阵的运算规律

  • \((A^T)^T=A\).

  • \((A+B)^T=A^T+B^T\).

  • \((kA)^T=kA^T\).

  • \((AB)^T=B^TA^T\).

• 对称矩阵：满足\(A^T=A\)的矩阵. 
  反对称矩阵：满足\(B^T=-B\)的矩阵. 
  \(\ast\)反对称矩阵的主对角线元素均为零. 

方阵的行列式

对\(n\)阶方阵\(A\)，称由该方阵元素按原位置排成的行列式为方阵\(A\)的行列式，记作\(det(A)\). 

• 设\(A,\ B\)为\(n\)阶方阵，\(k\)为数，则

  • \(drt(A^T)=det(A)\).

  • \(det(kA)=k^ndet(A)\).

  • \(det(AB)=det(A)\cdot det(B)\).

  • 奇数阶反对称行列式的值为零. 

• 对称矩阵：满足\(A^T=A\)的矩阵. 
  反对称矩阵：满足\(B^T=-B\)的矩阵. 
  \(\ast\)反对称矩阵的主对角线元素均为零. 

逆矩阵

对\(n\)阶方阵\(A\)，若存在\(n\)阶方阵\(B\)，使\[AB=BA=I\]则称方阵\(A\)可逆，并称方阵\(B\)为方阵\(A\)的逆矩阵，记作\(A^{-1}\)，且可逆方阵的逆矩阵唯一. 不存在逆矩阵的方阵称为奇异矩阵. 

伴随矩阵

对\(n\)阶方阵\(A(n\geq 2)\)，\(det(A)\)的元素\(a_{ij}\)的代数余子式为\(A_{ij}(i,j=1,2,\dots ,n)\)，称\[A^{\ast}=(A_{ji})_{n \times n}\] 为\(A\)的伴随矩阵. 

• 设\(A\)为\(n\)阶方阵，则 \[AA^{\ast}=A^{\ast}A=det(A)I\]

• 伴随矩阵的基础性质

  • \((kA)^{\ast}=k^{n-1}A^{\ast}\). 

  • \((AB)^{\ast}=B^{\ast}A^{\ast}\). 

  • \((A^{\ast})^{\ast}=det(A)^{n-2}A\). 

• 伴随矩阵的逆矩阵

  • \(A^{\ast}\)可逆，且\((A^{\ast})^{-1}=\frac{A}{det(A)}\). 

  • \(A^{\ast}=det(A)A^{-1},\ A=det(A)(A^{\ast})^{-1}\). 

  • \((A^{\ast})^{-1}=(A^{-1})^{\ast}\). 

• 伴随矩阵的行列式：\(det(A^{\ast})=(det(A))^{n-1}\). 

逆矩阵的性质

方阵\(A\)可逆\(\Leftrightarrow\)\(det(A)\neq 0\)，且当\(A\)可逆时， \[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}A^{\ast}\]

• \((A^{-1})^{-1}=A\). 

• \((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\). 

• \((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\). 

• \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). 

• \(det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\). 

分块矩阵及其性质

• 子矩阵：原矩阵若干行、列相交处元素位置不变排成的矩阵. 
  前主子矩阵：方阵左上角的各阶方阵. 

• 分块矩阵：将矩阵用横纵线分割成若干子块，并以这些子块为元素的矩阵. 

• 分块矩阵的运算

  • 加法与数乘：同型矩阵，同种划分才可相加. 

  • 转置：先外转置，再内转置. 

  • 乘法：原矩阵可乘，且左矩阵列划分与右矩阵行划分相同; 
    先以子块为元素相乘，再计算内部乘法. 

• 分块三角阵与分块对角阵

  • \(\det(A)=\prod det(A_{i})\).

  • 对角阵\(A\)的逆矩阵为先外求逆，再内求逆. 

  • \(D=\begin{bmatrix} A & C\\ O& B \end{bmatrix}=det(A)\cdot det(B)\)

• 按行分块与按列分块

  • \(m\times n\)矩阵\(A\)可划分为\(m\)个行向量： \(A=\begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \dots \\ \alpha_m\\ \end{bmatrix}\)
    或\(n\)个列向量：\(A=\begin{pmatrix} \beta_1 &\beta_2& \dots&\beta_n \end{pmatrix}\). 

  • 对系数矩阵为\(A_{m\times n}\)的线性方程组， \[Ax=b\quad \Leftrightarrow \quad \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \dots \\ \alpha_m\\ \end{bmatrix}x= \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \dots \\ \beta_m\\ \end{bmatrix}\]

矩阵的初等变换

初等变换与初等矩阵

• 初等行变换：

  • 交换两行位置(\(r_{ij}\))：\(r_i\leftrightarrow r_j\). 

  • 数乘(\(r_i(k)\))：\(r_i\times k\). 

  • 倍加(\(r_{ij}(k))\)：\(r_i+kr_j\). 

  初等列变换可类似定义，两者统称矩阵的初等变换. 

• 等价矩阵：经过有限次初等行/列变换后所得的矩阵与原矩阵行/列等价，统称矩阵等价. 

• 初等矩阵：对单位矩阵只作一次初等变换所得的矩阵. 

  • 

  • 

  • 

• 初等方阵的性质

  • 初等方阵可逆，其逆矩阵也为初等方阵.

    • \((P_{ij})^{-1}=P_{ji}\).

    • \((P_{i}(k))^{-1}=P_{i}(\frac{1}{k})\).

    • \((P_{ij}(k))^{-1}=P_{ij}(-k)\).

  • 对矩阵做一次初等行变换\(\Leftrightarrow\)对于初等矩阵左乘该矩阵; 
    对矩阵做一次初等列变换\(\Leftrightarrow\)对于初等矩阵右乘该矩阵.

  • \(A\)与\(B\)等价\(\Leftrightarrow\)存在初等矩阵\(P_1,P_2,\dots,P_m;\ Q_1,Q_2,\dots,Q_n\)，使得
    \(P_mP_{m-1}\dots P_1AQ_1Q_2\dots Q_n=B\)(推论见[272]). 

阶梯形矩阵

• 满足下列条件的矩阵，称(行)阶梯形矩阵：

  • 零行(若存在)在矩阵底部; 

  • 下方非零行首非零元在上一行右边. 

• 满足下列条件的矩阵，称简化行阶梯形矩阵：

  • 是阶梯形矩阵; 

  • 各非零行首非零元为\(1\)，且所在列其他行元素为\(0\). 

• 任一非零矩阵都可通过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵. 

• \(A_{m\times n}\)与\(B_{m\times n}\)等价\(\Leftrightarrow\)存在可逆矩阵\(P_{m\times m}\)与\(Q_{n\times n}\)，使\(PAQ=B\).

• 求逆矩阵的方法：\([A|I]\ \xrightarrow{\text{初等行变换}}\ 1 [I|A^{-1}]\).

矩阵的秩

• \(k\)阶子式：矩阵中任取\(k\)行和\(k\)列，交叉点上的\(k^2\)个元素组成方阵的行列式. 

• 矩阵的秩：\(A=O\Rightarrow r(A)=0;\\ A\neq O\Rightarrow r(A)=A\)中非零子式的最高阶数. 

  • \(r(A)=r(A^T)\).

  • \(det(A)\neq 0 \Leftrightarrow r(A)=n \Leftrightarrow A\)为满秩方阵(反之称降秩方阵). 

• 求矩阵秩的方法

  • 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行数量. 

  • 行等价的矩阵有相同的秩. \(\Rightarrow\)将矩阵化为阶梯形矩阵，数非零行即可. 

• 秩标准形
  存在可逆矩阵\(P_{m\times m}\)与\(Q_{n\times n}\)，使 \[PAQ=\begin{bmatrix} I_r &O\\ O &O \end{bmatrix}_{m\times n}\] 右端矩阵与原矩阵等价，称秩标准形. 

几何向量及其应用

坐标与线性运算

• 加法
  交换律、结合律、\(0\)向量、负向量

• 数乘
  单位向量\((\vec{a}^0=\frac{1}{\|a\|}\vec{a})\)、结合律、对向量和数分别有分配律

• 向量长度的性质

  • 非负性

  • 齐性：\(\|\lambda \vec{a}\|=|\lambda \|\vec{a}|\)

  • 三角不等式：\(\|\vec{a}+\vec{b}\|\leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|\)

• 定比分点：设\(A(x_1,y_1,z_1),\ B(x_2,y_2,z_2)\)， 对\(AB\)上一点\(C(x,y,z)\)，满足\(\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{CB}\)，则： \[(x,y,z)=(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda})\]

• 设\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)夹角为\(\theta\)，则定义： \[Proj_ab=\|\vec{b}\|\cos \theta \vec{a}^0\] 为\(\vec{b}\)在\(\vec{a}\)上的(正交)射影向量，定义： \[(\vec{b})_a=\|\vec{b}\|\cos \theta\] 为\(\vec{b}\)在\(\vec{a}\)上的(正交)射影. 

向量的积

• 内积/数量积/点乘 \[\vec{a}\cdot \vec{b}=\|\vec{a}\|\ \|\vec{b}\| \cos \theta=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b \nonumber\]

  • 交换律，分配律，数乘结合律

  • 求向量夹角 \[\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\ \|\vec{b}\|}\]

  • 求射影 \[(\vec{b})_a=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|}=\vec{b}\cdot \vec{a}^0\]

• 外积/向量积/叉乘 \[\begin{aligned} \vec{a}\times &\vec{b}=(y_az_b-y_bz_a,z_ax_b-z_bx_a,x_ay_b-x_by_a)\\ &\text{方向：}\vec{a}\text{和} \vec{b}\text{的右手系方向}\\ &\text{大小(模)：}\|\vec{a}\times \vec{b}\|=\|\vec{a}\|\ \|\vec{b}\| \sin \theta \end{aligned} \nonumber\]

  • 不满足交换律，\(\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}\)

  • 数乘结合律，左右分配律

• 混合积 \[=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}\\ =\begin{vmatrix} x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b\\ x_c&y_c&z_c \end{vmatrix} \nonumber\]

  • 几何意义：以\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)为相邻棱构成的平行六面体的体积. 

  • \([\vec{a}\quad \vec{b} \quad \vec{c}]=[\vec{b}\quad \vec{c} \quad \vec{a}]=[\vec{c}\quad \vec{a} \quad \vec{b}]\)

  • 互换混合积中任意两个向量位置，混合积变号

平面与直线方程

• 平面方程

  • 点法式：过点\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)，法向量\(\vec{n}=(A,B,C)\) \[\Rightarrow M:A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0\]

  • 一般式：\(Ax+By+Cz+D=0\)
    \(\ast D=0\)，过原点; \(A=0,D=0\)，过\(y\)轴

  • 截距式：\(OA=a,OB=b,OC=c\) \[\Rightarrow M: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\]

• 直线方程

  • 一般式：由两平面交线表示，将两方程联立即可. 

  • 参数式：过点\(P(x_0,y_0,z_0)\)，方向向量\(\vec{a}=(l,m,n)\) \[\left\{ \begin{aligned} x&=x_0+lt\\ y&=y_0+mt\\ z&=z_0+nt \end{aligned} \right.\]

  • 对称式 \[\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\]

空间位置关系

• 向量的位置关系

  • \[\text{向量}\vec{a}, \vec{b}\text{共线} \Leftrightarrow \vec{a}\times \vec{b}=0 \Leftrightarrow \frac{x_a}{x_b}=\frac{y_a}{y_b}=\frac{z_a}{z_b}\]

  • \[\vec{a}\perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \Leftrightarrow x_ax_b+y_ay_b+z_az_b=0\]

  • \[\text{向量}\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text{共面} \Leftrightarrow [\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}]= \begin{vmatrix} x_a &y_a &z_a\\ x_b &y_b &z_b\\ x_c &y_b &z_c\\ \end{vmatrix}=0\]

• 直线的位置关系
  设直线\(l_1\)过点\(P_1\)，方向向量为\(\vec{a_1}\)，直线\(l_2\)过点\(P_2\)，方向向量为\(\vec{a_2}\)，则两直线的夹角：\[\cos \theta =\frac{\vec{a_1}\cdot \vec{a_2}}{\|\vec{a_1}\|\cdot \|\vec{a_2}\|}=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}\] \[\Rightarrow l_1, l_2\text{共面}\Leftrightarrow \begin{vmatrix} x_2-x_1 &y_2-y_1 &z_2-z_1\\ l_1 &m_1 &n_1\\ l_2 &m_2 &n_2\\ \end{vmatrix}=0\]

  • 相交：\(\vec{a_1}, \vec{a_2}\)不平行

  • 平行不重合：\(\vec{a_1}, \vec{a_2}\)平行，但不与\(\overrightarrow{P_1P_2}\)平行

  • 重合：\(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \overrightarrow{P_1P_2}\)均平行

• 线面间位置关系
  线面夹角：直线与其在平面投影之间的夹角 \[\sin \phi =\frac{|Al+Bm+Cn|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot \sqrt{l^2+m^2+n^2}}\]

  • \[l\perp \Pi\Leftrightarrow \sin \phi =1\]

  • \[l\parallel \Pi\Leftrightarrow \sin \phi =0 \Leftrightarrow Al+Bm+Cn=0\]

  • 进一步，若线在面上，则\[Ax_0+By_0+Cz_0=0\]

• 平面的位置关系

  • \[\Pi_1 \parallel \Pi_2 \Leftrightarrow A_1 :B_1:C_1=A_2 :B_2:C_2\]

  • \[\Pi_1 \perp \Pi_2 \Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\]

点、线、面的距离

• 点到平面的距离：\(P(x_0,y_0,z_0)\quad \Pi:Ax+By+Cz+D=0\)\[d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

• 点到空间直线的距离：\(P(x_0,y_0,z_0)\quad l:\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}\)\[d=\frac{\|\overrightarrow{P_1P_0}\times \vec{a}\|}{\|a\|}\qquad \ast \vec{a}=(l,m,n)\]

• 异面直线间的距离:\[d=|\overrightarrow{P_1P_2}|\cdot \frac{\vec{a_1}\times \vec{a_2}}{\|\vec{a_1}\times \vec{a_2}\|}\]

\(n\)维向量与线性方程组

向量组的线性相关性

• 线性表示：向量\(\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表示，即存在一组数\(k_i\)，使 \[\beta=\sum_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\]

  • 向量\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)唯一线性表示
    \(\Leftrightarrow\)方程组\(Ax=b\)有唯一解 \(\Leftrightarrow r(A)=r(\bar{A})=n\)

  • 向量\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)有无穷种线性表示
    \(\Leftrightarrow\)方程组\(Ax=b\)有无数解 \(\Leftrightarrow r(A)=r(\bar{A})< n\)

• 线性相关：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，即存在一组不全为零的常数\(k_i\)，使 \[\sum_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\]
  \(\ast\ s\geq n\)时，该向量组一定线性相关. 

  • \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关
    \(\Leftrightarrow\)方程组\(Ax=0\)有非零解
    \(\Leftrightarrow r(A)=r(\bar{A})< n \Leftrightarrow det(A)=0\)

  • \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关
    \(\Leftrightarrow\)方程组\(Ax=0\)只有零解
    \(\Leftrightarrow r(A)=r(\bar{A})= n \Leftrightarrow det(A)\neq 0\)

• 相关推论

  • 向量组线性相关\(\Leftrightarrow\)向量组中至少有一个向量可由其他向量线性表示. 

  • 若向量组\(A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)线性无关，向量组\(B:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\beta\)线性相关，则\(\beta\)可由向量组\(A\)唯一线性表示. 

  • 若\(m\)维向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，其中\(\alpha_i=(a_{1i},a_{2i},\cdots ,a_{mi})^T\)，则在各向量相同位置添加任意分量，所得向量组仍线性无关; 
    若\(m\)维向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则去除各向量相同位置的分量，所得向量组仍线性相关. 

  • 部分线性相关\(\Rightarrow\)整体线性相关; 
    部分线性无关\(\Leftarrow\)整体线性无关. 

向量组的秩与解的结构

• 若向量组\(A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由\(B:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r\)线性表示，则：

  • \(r< s\)时，\(A\)线性相关. 

  • \(A\)线性无关时，必有\(s\leq r\).

• 若向量组\((I)\)可由向量组\((II)\)线性表示，则\(r(I)<r(II)\); 
  若向量组\((I)\)和向量组\((II)\)等价，则\(r(I)=r(II)\). 

• 设\(A\)为\(m\times n\)阶矩阵，\(r(A)=r<n\)，则\(n\)元齐次线性方程组\(Ax=0\)一定存在基础解系，含有\(n-r\)个向量. 
  同时，任意\(n-r\)个线性无关的解向量都可作为该方程组的基础解系. 

• 非齐次线性方程组的基础解系可由一个特解与对应齐次方程组的通解表示，即：\(x=\eta^\ast +\xi\). 

线性空间与欧式空间

线性空间与同构

• • 子空间：线性空间\(V\)的子集\(W\)，也可按\(V\)所定义的加法、数乘运算构成线性空间，则称\(W\)为\(V\)的(线性)子空间. 

  • 设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)是线性空间\(V\)中的\(m\)个向量，则称:\[span\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m\ |\ k_i \in \mathbb{F}\}\]为由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)生成的线性空间. 

• 线性空间的基
  设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)是线性空间\(V\)中的一组向量，且满足：

  • \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)线性无关; 

  • \(\forall \alpha \in V\)均可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)线性表示，即：\[\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n\]

  基中所含向量个数称该线性空间的维数，记作\(dim(V)=n\). 
  称对应的\(n\)个有序数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)为向量\(\alpha\)在基\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)下的坐标，记作\((x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\).

• 线性空间的维数唯一确定，但基不是唯一的，对\(n\)维线性空间\(V\)，任意\(n\)个线性无关向量均可作为\(V\)的基. 设有两个基
  \[I:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n \qquad II:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\]则坐标变换公式为：\[x=Ay\ or.\ y=A^{-1}x\] 其中\(A\)是从\(I\)到\(II\)的过渡矩阵. 

• 坐标映射：从\(V\)到\(\mathbb{F}^n\)的双射\(f:f(\alpha)=x\)，满足：

  • \(\forall \alpha ,\beta \in V\)，恒有\(f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta)\). 

  • \(\forall \alpha\in V,k\in \mathbb{F}\)，恒有\(f(k\alpha)=kf(\alpha)\). 

• 线性空间的同构(映射)：设数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间\(V_1,V_2\)，从\(V_1\)到\(V_2\)的映射\(\sigma\)，满足：

  • \(\forall \alpha ,\beta \in V_1\)，恒有\(\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)\). 

  • \(\forall \alpha\in V_1,k\in \mathbb{F}\)，恒有\(\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)\). 

  两个可以建立同构映射的线性空间是同构的. 

  • 同构是等价关系. 

  • 维数相同的线性空间是同构的. 

  • 同构映射不改变线性相关性，且\(V_1\)的一个基经同构映射变换后也是\(V_{2}\)的一个基. 

基与子空间

• 基的扩充定理
  设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r(r<n)\)是\(n\)维线性空间\(V\)中的一个线性无关组，则：
  存在\(\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\cdots,\alpha_n\)，使得\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)构成\(V\)的一组基. 

• 设\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)都是线性空间\(V\)的子空间，则

  • 他们的交\(\bigcap \limits_{1\leq i\leq s}V_i\)是\(V\)的线性子空间. 

  • 他们的和\(\sum\limits_{1\leq i\leq s}\)是\(V\)的线性子空间. 

  • 他们的并\(\bigcup \limits_{1\leq i\leq s}V_i\)不是\(V\)的线性子空间. 

• 维数公式

  • \[dim(V_1+V_2+\cdots+V_s)\leq dim(V_1)+dim(V_2)+\cdots+dim(V_s)\]

  • \[dim(V_1+V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)-dim(V_1\cap V_2)\]

• 直和

  • 设\(W_1,W_2,\cdots,W_s\)都是线性空间\(V\)的子空间，\(W=\sum W_i\)，若
    \(W\)中每个向量可唯一表示为\[\alpha =\alpha_1+\cdots+\alpha_s\qquad a_i\in W_i\]则称\(W\)为\(W_1,W_2,\cdots,W_s\)的直和，用\(W_1\bigoplus W_2\bigoplus \cdots \bigoplus W_s\)表示. 

  • \[\begin{aligned} V_1+V_2\text{是直和}&\Leftrightarrow V_1\cap V_2=\{0\}\\ &\Leftrightarrow dim(V-1+V_2)=dim(V_1)+dim(V_2) \end{aligned}\]

欧氏空间

• 内积：对实线性空间\(V\)中任意两个向量\(\alpha,\beta\)，都指定一个实数\(\langle\alpha,\beta\rangle\)与之对应，且\(\forall \alpha,\beta,\gamma\in V,\forall k\in \mathbb{R}\)，满足：

  • 对称性：\(\langle\alpha,\beta\rangle=\langle\beta,\alpha\rangle\); 

  • 可加性：\(\langle\alpha+\beta,\gamma\rangle=\langle\alpha,\gamma\rangle+\langle\beta,\gamma\rangle\); 

  • 齐次性：\(\langle k \alpha,\beta\rangle=k\langle\alpha,\beta\rangle\); 

  • 非负性：\(\langle\alpha,\beta\rangle \geq 0\)，当且仅当\(\alpha =0\)时取等号. 

  则称\(\langle\alpha,\beta\rangle\)为线性空间\(V\)中元素\(\alpha\)和\(\beta\)的内积，称该线性空间\(V\)为实内积空间或欧氏空间. 

• 在欧氏空间\(V\)中，称非负实数\(\sqrt{\langle\alpha,\alpha\rangle}\)为向量\(\alpha\)的范数，记作\(\|\alpha\|\). 

  • \(\|\alpha\|\geq 0\qquad\|\alpha\|=0\)当且仅当\(\alpha =0\).

  • \(\|k\alpha\|=|k|\|\alpha\|,k\in \mathbb{R}\).

  • 三角不等式:\(\|\alpha+\beta\|\leq \|\alpha\|+\|\beta\|\).

  • \(Cauchy-Schwarz\)不等式
    设\(\alpha,\beta\)是欧氏空间\(V\)中任意两个向量，则\[|\langle \alpha,\beta \rangle|\leq \sqrt{\langle\alpha,\alpha\rangle}\sqrt{\langle\beta,\beta\rangle}=\|\alpha\|\|\beta\|\] 其中，等号成立当且仅当\(\alpha\)与\(\beta\)线性相关. 

• 欧氏空间\(V\)中两个向量\(\alpha\)与\(\beta\)间的距离可由范数\(\|\alpha-\beta \|\)表示，即：\[d(\alpha,\beta)=\|\alpha-\beta \|\]

• 在欧氏空间中，规定两个非零向量\(\alpha\)和\(\beta\)的夹角\(\phi\)为：\[\phi =\arccos \frac{\langle\alpha,\beta\rangle}{\|\alpha\|\|\beta\|}\qquad(0\leq\phi\leq\pi)\] 若\(\langle\alpha,\beta\rangle=0\)，则称\(\alpha\)和\(\beta\)正交，记为\(\alpha \perp \beta\).

正交向量与正交矩阵

• 正交向量组：所含向量两两正交的向量组. 

  • 不含零向量. 

  • 必是线性无关组. 

  • 若每个向量都是单位向量，称标准正交向量组. 

• 在\(n\)维欧氏空间\(V\)中，由\(n\)个向量组成的正交向量组称为\(V\)的正交基; 由\(n\)个向量组成的单位正交向量组称为\(V\)的标准正交基. 
  设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)的一个标准正交基，\(\alpha\)和\(\beta\)是\(V\)中任意向量，则

  • \(x_i=\langle\alpha,\alpha_i\rangle\);

  • \(\langle\alpha,\beta\rangle=x_1y_1+\cdots+x_ny_n\);

  • \(\|\alpha\|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\);

  • \(d(\alpha,\beta)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\).

• \(Gram-Schmidt\)正交化方法
  设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)的一个基，令： \[\begin{aligned} \beta_1&=\alpha_1\\ \beta_2&=\alpha_2-\frac{\langle \alpha_2,\beta_1\rangle}{\langle \beta_1,\beta_1\rangle}\\ &\cdots\\ \beta_n&=\alpha_n-\frac{\langle \alpha_n,\beta_1\rangle}{\langle \beta_1,\beta_1\rangle}-\frac{\langle \alpha_n,\beta_2\rangle}{\langle \beta_2,\beta_2\rangle}-\cdots-\frac{\langle \alpha_n,\beta_{n-1}\rangle}{\langle \beta_{n-1},\beta_{n-1}\rangle} \end{aligned}\] 则\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\)是\(V\)的一个正交基. 再令\[e_i=\frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}\ ,\ i=1,2,\cdots,n\] 则\(e_1,e_2,\cdots,e_n\)是\(V\)的一个标准正交基. 

• 满足\(A^Ta=AA^T=I\)，或\(A^{-1}=A^T\)的实方阵\(A\)称正交矩阵. 
  设\(A,B\)为同阶正交矩阵，则

  • \(det(A)=\pm1\).

  • \(A^T,A^{-1},A^{\ast}\)均为正交矩阵. 

  • \(AB\)为正交矩阵. 

  实方阵\(A\)是正交矩阵\(\ \Leftrightarrow\ A\)的列(行)向量组是标准正交向量组. 

• 设\(P\)为\(n\)阶正交矩阵，称\(T:T(x)=Px\)为\(\mathbb{R}^n\)上的正交变换. 

  • 保内积不变性：\(\langle Px_1,Px_2 \rangle=\langle x_1,x_2 \rangle\).

  • 保范数不变性：\(\|Px_1\|=\|x_1\|\).

特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量

• \[Ax=\lambda x\Leftrightarrow (\lambda I-A)x=0 \Leftrightarrow det(\lambda I-A)=0\] 代数重数：特征方程的根\(\lambda_i\)的重数. 
  几何重数：\((\lambda_i I-A)x=0\)基础解系所含的向量个数. 

  • \[\lambda_1 \lambda_2\cdots \lambda_n=det(A)\]

  • \[\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=tr(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\]

• 设\(\lambda\)是矩阵\(A\)的一个特征值，\(x\)是一个对应特征向量，则

  • \(\forall m \in \mathbb{N},\ \lambda^m\)是矩阵\(A^m\)的一个特征值，\(x\)是一个对应特征向量. 

  • 对任意多项式\(f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0\)，\(f(\lambda)\)是矩阵\(f(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0I\)的一个特征值，\(x\)是一个对应特征向量. 

• • \(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值，\(\frac{det(A)}{\lambda}\)是\(A^{\ast}\)的特征值.

  • 属于互不相同特征值的特征向量(组)线性无关. 

  • 特征值的几何重数不大于其代数重数. 

相似矩阵

• 对\(n\)阶矩阵\(A,B\)，若存在\(n\)阶矩阵\(P\)，使得\[P^{-1}AP=B\]则称\(A\)与\(B\)相似，记作\(A\sim B\).

  • 相似是一种等价关系. 

  • \(det(a)=det(B)\)，\(r(A)=r(B)\)，两矩阵特征值也相同. 

  • 若\(A,B\)都可逆，则其逆矩阵相似. 

• 判断\(n\)阶矩阵\(A\)可相似对角化(与对角矩阵相似)的条件

  • \(\Leftrightarrow\)：\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量. 

  • \(\Rightarrow\)：\(n\)阶矩阵\(A\)可相似对角化\(\Leftrightarrow\)\(A\)有\(n\)个互不相等的特征值. 

  • \(\Leftrightarrow\)：\(A\)每个特征值的代数重数都等于几何重数(实对称矩阵必定满足). 

• • 实对称矩阵的特征值都是实数. 

  • 实对称矩阵不同特征值对应特征向量两两正交. 

  • 对\(n\)阶实对称矩阵，一定存在\(n\)阶正交矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=P^TAP=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)为对角矩阵. 

• 求正交矩阵\(P\)的方法

  • 求出\(A\)的全部特征值. 

  • 对每个特征值求出一个基础解系. 

  • 将各个基础解系单位正交化(\(Gram-Schmidt\)法). 

  • 把单位正交基排成对角阵即可. 

二次曲面与二次型

曲面与空间曲线

• 椭球面 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\quad (a>0,b>0,c>0)\] \(a=b\)时为旋转椭球面. 

• 单叶双曲面 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\]

• 双叶双曲面 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\]

• 椭圆抛物面 \[\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=2z\quad (p>0,q>0)\]

• 双曲抛物面 \[\frac{x^2}{p^2}-\frac{y^2}{q^2}=2z\quad (p>0,q>0)\]

实二次型

• \(n\)元二次型 \[\begin{aligned} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1&x_n+\\ a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2&x_n+\\ \cdots+a_{nn}&x_n^2 \end{aligned}\] 设矩阵\(A\)满足\(a_{ij}=a_{ji}\)，则 \[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\]

• 二次型的标准型：\(f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots +d_ny_n^2\)
  标准型的矩阵：\(D=diag(d_1,d_2,\cdots ,d_n)\)
  对二次型\(f=x^TAx\)，总存在正交变换\(x=Py(P\)为正交矩阵)，可通过该变换将二次型化为对应的标准型，则 \[P^T AP=D\]

  • 正交变换法

  • 配方法

• 合同变换：对\(n\)阶矩阵\(A,B\)，若存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，则称\(A\)与\(B\)合同，记作\(A\simeq B\)，称\(A\)到\(B\)的变换为合同变换. 

  • 合同是同阶方阵间的等价关系. 

  • \(A\simeq B\Rightarrow r(A)=r(B)\). 

• 二次型标准型中系数为正的个数被称作正惯性指数，合同变换不改变二次型的正惯性指数. 从而，二次型可由线性变换化为规范形：\[f=z_1^2+\cdots +z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_r^2\] 若二次型\(f(x)=x^TAx\)由可逆线性\(x=Cy\)变换化为二次型\(g(y)=y^TBy\)，则称两个二次型等价，他们有相同的规范形. 

• 正定二次型：对任意非零向量\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in \mathbb{R}^n\)，都有
  \(x^TAx>0\)，并称\(A\)为正定矩阵. 

  • 可逆线性变换不改变二次型的正定性. 

  • \(A\)为正定矩阵\(\Leftrightarrow\)\(A\)的所有特征值大于零\(\Leftrightarrow\)\(f\)的正惯性指数为\(n\). 

  • \(A\)为正定矩阵\(\Leftrightarrow\)存在可逆矩阵\(M\)，使\(A=M^TM\)，即\(A\)与同阶单位阵合同. 

  • \(A\)为正定矩阵\(\Rightarrow det(A)>0\)

  • \(A\)为正定矩阵\(\Leftrightarrow\)\(A\)的各阶顺序主子式都大于零. 

线性变换

线性变换与运算

• 若映射\(T:V\rightarrow W\)满足：\(\forall \alpha,\beta \in V,k\in \mathbb{F}\), 恒成立

  • \(T(\alpha+\beta)=T(\alpha)+T(\beta)\).

  • \(T(k\alpha)=kT(\alpha)\).

  则称\(T\)为从\(V\)到\(W\)的一个线性变换(线性映射), 从\(V\)到\(W\)线性变换的全体记作\(L(V,W)\). 
  特别地, 从从\(V\)到\(V\)线性变换的全体记作\(L(V)\), 若\(T\in L(V)\), 称\(T\)是\(V\)上的线性算子. 

  • \(T(0)=0\qquad T(-\alpha)=-T(\alpha)\).

  • \(T(k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m)=k_1T(\alpha_1)+\cdots+k_mT(\alpha_m)\).

  • \(T\)把\(V\)中线性相关组映射为\(W\)中线性相关组.

• 设\(T\in L(V,W)\), 称：
  \(V\)为\(T\)的定义域; \(V\)的子集\(\{T(\alpha)|\alpha\in V,T(\alpha)=0\}\)为\(T\)的核(零空间), 记作\(ker(T)\); \(W\)的子集\(\{T(\alpha)|\alpha\in V\}\)为\(T\)的值域(像空间), 记作\(R(t)\)或\(T(V)\). \(ker(T)\)是\(V\)的子空间; \(R(T)\)是\(W\)的子空间. 
  通常称\(ker(T)\)的维数为\(T\)的零度, 记为\(nullity(T)\); 称\(R(T)\)的维数为\(T\)的秩, 记为\(rank(T)\), 并满足：\[nullity(T)+rank(T)=n\]

• 设\(T\in L(V,W)\), 则下列条件相互等价：

  • \(T\)是单射(\(T(\alpha)=T(\beta)\Rightarrow \alpha=\beta)\).

  • \(ker(T)=\{0\}\).

  • \(T\)将\(V\)中线性无关组映射成\(W\)中线性无关组.

  • \(rank(T)=dim(V)=n\).

• \(T_2:U\rightarrow V,T_1:V\rightarrow W\), 则定义\(T_1T_2:U\rightarrow W\)为： \[T_1T_2(\alpha)=T_1(T_2(\alpha))\qquad \forall \alpha \in U\]

  • 交换律：\((T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)\). 

  • \(TI_V=T\qquad I_WT=T\).

• 设\(T:V\rightarrow W,S:W\rightarrow V\), 使得\[TS=I_W\qquad ST=I_V\] 则称为\(T\)可逆映射, 记\(S=T^{-1}\)为\(T\)的逆映射. 若\(T\)为线性变换(此时称可逆线性变换), 则\(T^{-1}\)也是线性变换.
  \(T\)可逆\(\Leftrightarrow ker(T)=\{0\}\),且\(R(T)=W\).

• 设\(dim(V)=dim(W)=n,T\in L(V,W)\), 则下列条件相互等价：

  • \(T\)为可逆线性变换.

  • \(T\)是单射.

  • \(T\)是满射.

  • \(rank(T)=dim(V)=n\).

  • \(nullity(T)=0\).

• \[(T_1+T_2)(\alpha)=T_1(\alpha)+T_2(\alpha)\] \[(kT)(\alpha)=kT(\alpha)\] 线性变换的和与积仍是线性变换. 

线性变换的矩阵

• \(V_m,W_n\)的基分别是\(B=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\},B'=\{\beta_1,\cdots,\beta_m\}\), 则 \[\left\{ \begin{aligned} T(\alpha_1)&=a_{11}\beta_{1}+a_{21}\beta_{2}+\dots +a_{m1}\beta_{n} \\ T(\alpha_2)&=a_{12}\beta_{1}+a_{22}\beta_{2}+\dots +a_{m2}\beta_{n} \\ &\dots \dots \dots\\ T(\alpha_n)&=a_{1n}\beta_{1}+a_{2n}\beta_{2}+\dots +a_{mn}\beta_{n} \\ \end{aligned} \right.\] 称矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)为线性变换\(T\)在基\(B,B'\)下的矩阵, 简称线性变换\(T\)的矩阵. 

• • 线性变换的和、数量积、乘积分别对应于矩阵的和、数量积与乘积. 

  • 线性空间\(L(V,W)\)与线性空间\(\mathbb{F}^{m\times n}\)是同构的, 维数为\(m\times n\). 

  • \(R(T)\)与矩阵\(A\)的列空间同构, 且\(T\)与\(A\)的秩相等; 
    \(ker(T)\)与齐次线性方程组\(Ax=0\)的解空间同构, 且\(T\)的零度等于\(n-r(A)\). 

  • 若\(dim(V)=dim(W)=n\), 则：
    \(T\)是可逆变换\(\Leftrightarrow\)\(A\)为可逆矩阵. 

• 线性算子在不同基下的矩阵是相似的. 
  设\(T\in L(V)\), \(T\)在\(B,B'\)下的矩阵分别为\(A\)和\(D\), 且\(B\)到\(B'\)的过渡矩阵为\(C\), 则\(C^{-1}AC=D\).